围棋与数学之畅想

    小时候学算术，老师叫第二天准备十多根棍子，做数数用，现在想来，如果老师拿围棋子让我数该多好，既学了算术又学围棋。

    围棋里最小数是0.25（四分之一子），最大数是361，多数人认为围棋最大变化是361的阶乘，这个数据别人计算是768位数。实际上按围棋规则，一方可下弃着，打劫时一点可重复多次提子，另外一方提数子后另一方还可在里面下子，实战变化应当更多。有人质疑变化没有这么多，有些变化不合棋理，应以排除，但下棋的人都知道，实战才有说服力，网上下棋滑标也很普遍，就连聂卫平九段都有昏招，随手就更不用说，笔者就曾在比赛中两气的大龙自紧一气大龙被吃，郁闷许久。

    768位数是怎么概念呢？地球的重量约是6×l0^24千克，6×10^27克，约为6后加27个零，如果地球人每下一盘棋用一粒沙子记数，以粉沙一万粒为一克计算，地球的物质全部化为沙子也仅能提供6×10³¹粒，也就是32位数的沙子，就算孙悟空来“大闹天宫”施展神通，把银河系所有上千亿颗星球粉碎成沙子，也仅能获得约54位数的沙子，所得之数也仅是768位数的零头,可以怱略不计！

    由于变化太多，无法得出精确的最佳着法，自然也无法得出合理的帖目数，帖目数曾经是零目、5目半、6目半，现在是7目半。

    “目”是面积单位，数学上没有而围棋所特有的，“目”等于围棋全部地域的361分之一，数学家也说不清“平方公里”和它谁大谁小。

    无穷大符号“∞”与棋盘上两只眼形状相似，有两眼的棋，对方永远也无法紧完它的气，其实两眼活棋它的气就是无穷大。 围棋盘上的线段最多只有19个点，而数学上一条线段是由无数的点组成。    数学要有一组基本概念和公理，以便整理成为一个演绎系统，围棋亦然，围棋基本公理是“地多者胜”，中国围棋从而推导出“子空皆地”这一定理，日本围棋只点空或点目不数子，是违背“地多者胜”这一公理的，日本围棋规则因而在判定胜负时有各种争议和缺陷。

      我们学数学时学了很多公理和以公理推导出的定理，公理本身无需证明，围棋也有公理和定理，两眼活棋是公理，而“直三”、“丁四”、“刀把五”、“花六”这些棋形，经验证，对方先动手做不出两眼，从而确立“直三”、“丁四”、“刀把五”、“花六”这样的棋形是（对方先下）死棋为定理。围棋定式虽然在某个时期大家公认为局部双方合理变化，但随着时间的推移和理论的改变，认识会有所改变，某些定式也会被淘汰，故不是定理    数学公理：“过两点有且只有一条直线,”，但在棋盘上，不在同一线上的两点只能弯曲连接，棋盘上最多只有十九个点之间有且只有一条直线，两点之间不一定有一直线。数学公理“两点之间线段最短”，这公理表现在围棋上，就是出逃或出头时最好要一间跳或二间跳。围棋棋诀：“象眼尖穿忌两行”，暗含数学公理之要义，这公理就是: “如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行”,“两行”就成了两条平行直线，子效对消，当“忌”也。    围棋棋诀：“棋成愚形效率低”，“愚形”就是三角形或其组合，用数学来说，就是三角形和正方形哪个更有效率更能围面积的问题，不难证明，三角形的边长和面积之比大于正方形边长和面积之比。

      第一手棋价值最大，然后逐一递减，到单官时就是零，如果双方下出最好的应对，它们之间的数值应当是一个数列，因黑有先手之利，黑棋数列比白棋数列相对应的数值总有一个差额，这所有的差额相加，目前认为大约相当于7.5目。

      每一手棋都有一定价值，它就是“代数”，代表一定的目数。用数学表示就是X=N目，N一般为正数，有时一手棋太坏，适得其反，也会是负数。棋手每下一手棋，都要解一道或几十道“代数式”，都会用到围棋的公理和定理，但围棋的变化实在非人力所能计算，在有限时间里更不能一步步推导而出，更多时是用定式来代替定理，有时凭感觉，计算结果自然也会有偏差。

      围棋不下在要点，而下在这点的上下左右，结果会完全不同，甚至生死之别，用“差之毫厘，谬以千里”都不足以形容，用数学来说就是一个极小的数乘以无穷大等于无穷大。   记录棋谱和对局研究，都用到数学里的坐标，如果没有数学提供的坐标，我们论棋时只能说“这里”“那里”，多几个点就无法表述。

     中学时学过数学家华罗庚介绍统筹学的文章，说的是在一定时间里做最多的事，比如煮饭和洗碗、洗菜，最好的方法是先煮饭，在煮饭的同时洗碗洗菜。围棋盘上当然想几个好点同为我方占领，但棋是轮流下的，这就需要抢先手，假如有20目官子、15目官子和10目官子各一，前两官子为后手，后一官子为先手，统筹安排就是先收10目的，轮对方收20目的，我方再抢到最后一个15目，总计是25目，比对方20目多，“一先不失”就是围棋里的统筹学。

      以前学复数、微积分，学虚数，很不以为然，认为离生活太远，学习兴趣不大。下围棋以后知道，围棋中的实地就是实数，厚势便是虚数，厚势能发挥多大作用，能转化成多少实地，还不能确定。

    计算实地的目数，可用精确数学搞定，而厚势、整体形势则有不确定性，有各种复杂因素，很难判断，棋手凭的是自个的天份和经验。在精确数学以外，模糊数学也试图对复杂事物进行识别，研究和处理模糊性、不确定性。

      棋手脑中要有虚拟图像、各种可能的形状，还要无数次去验证此图大于彼图，此形优于彼形，就象几何中求证此三角形大于彼三角形，或此角大于彼角、此线段大于彼线段。判断实数的大小比较容易，但要判断有实数和虚数的形状就太难了，要判断几手棋或几十手棋后既有实数也有虚数的形状价值大小更是难上加难。

     中国官方的统计，向来是统计加估计，数字出官，官出数字，统计数与实际数相差太远，水份多对某个官反而有利。广西某县，为显示招商引资或搞活经济的政绩，统计表上说某乡某镇有多少企业，其实加上卖罗卜串的和开小店的总共都不到所列数字的一半，这些政绩还编入县志，还强行要吃公家饭的高价购买志书！对棋手而言，也是统计加估计，实空部分是统计得出有多少目，而厚势部分，只能用估计，估计得越准确，形势判断就越准确，就能制定正确的策略和行棋方向，就能更易取胜，水份多对棋手是不利的，没有棋手故意做错误的形势判断。

     拓扑学是数学中一基础的分支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，棋手也常常在棋盘上构思很多变化图，这些棋形或变化图也是连续变化的，棋手寻求的是在连续变化中对已方有利的可能性。

     计算机围棋软件必须能够辨别微妙而又复杂的棋形，而计算机的程序算法却很难表达棋形，因为棋形往往是凭直观获得的知识，而凭直观获得知识是人类智慧的特征。围棋具有复杂系统的许多非线性特征，围棋多靠经验传承和辨证思考等非科学的方式进行学习，很难用非常具体的数学模型进行描述。

      国际象棋的电脑程序，数学建模非常简单，主要是对不同角色赋予不同的分值，然后对盘面上的每一颗棋可能的走法进行树形展开进行计算，按分值最大的走法进行排优，来决定行棋步骤。围棋的规则虽然简单，但围棋行棋的数学模型却非常复杂。围棋电脑冠军设计者陈志行认为，必须让电脑程序实现17项需求模型，才能达到基本棋力，而进一步提高，则非常困难。而单凭电脑下国际象棋的“树形展开、优选搜索”的计算原理是远远不够的。

      系统论有一个基本规律，即整体大于部分之和，由多个部分构成的一个系统可以在整体上出现一些其单个部分所没有的特征。同样，围棋的复杂性并不存在于棋子中，而是存在于棋子构成的整体中，无论是好形还是愚形，死棋还是活棋，那都是整体的性质，是整体的特征使围棋变得复杂无比。

      数学是基础学科，我们要学，围棋是中国四艺之一，也要学习传承，其实我们可以在围棋中学数学，在数学中学棋，鱼和熊掌兼得，何乐而不为呢？小时候学算术，老师叫第二天准备十多根棍子，做数数用，现在想来，如果老师拿围棋子让我数该多好，既学了算术又学围棋。

     围棋里最小数是0.25（四分之一子），最大数是361，多数人认为围棋最大变化是361的阶乘，这个数据别人计算是768位数。实际上按围棋规则，一方可下弃着，打劫时一点可重复多次提子，另外一方提数子后另一方还可在里面下子，实战变化应当更多。有人质疑变化没有这么多，有些变化不合棋理，应以排除，但下棋的人都知道，实战才有说服力，网上下棋滑标也很普遍，就连聂卫平九段都有昏招，随手就更不用说，笔者就曾在比赛中两气的大龙自紧一气大龙被吃，郁闷许久。

    768位数是怎么概念呢？地球的重量约是6×l0^24千克，6×10^27克，约为6后加27个零，如果地球人每下一盘棋用一粒沙子记数，以粉沙一万粒为一克计算，地球的物质全部化为沙子也仅能提供6×10³¹粒，也就是32位数的沙子，就算孙悟空来“大闹天宫”施展神通，把银河系所有上千亿颗星球粉碎成沙子，也仅能获得约54位数的沙子，所得之数也仅是768位数的零头,可以怱略不计！

    由于变化太多，无法得出精确的最佳着法，自然也无法得出合理的帖目数，帖目数曾经是零目、5目半、6目半，现在是7目半。

    “目”是面积单位，数学上没有而围棋所特有的，“目”等于围棋全部地域的361分之一，数学家也说不清“平方公里”和它谁大谁小。
    无穷大符号“∞”与棋盘上两只眼形状相似，有两眼的棋，对方永远也无法紧完它的气，其实两眼活棋它的气就是无穷大。 围棋盘上的线段最多只有19个点，而数学上一条线段是由无数的点组成。    数学要有一组基本概念和公理，以便整理成为一个演绎系统，围棋亦然，围棋基本公理是“地多者胜”，中国围棋从而推导出“子空皆地”这一定理，日本围棋只点空或点目不数子，是违背“地多者胜”这一公理的，日本围棋规则因而在判定胜负时有各种争议和缺陷。

      我们学数学时学了很多公理和以公理推导出的定理，公理本身无需证明，围棋也有公理和定理，两眼活棋是公理，而“直三”、“丁四”、“刀把五”、“花六”这些棋形，经验证，对方先动手做不出两眼，从而确立“直三”、“丁四”、“刀把五”、“花六”这样的棋形是（对方先下）死棋为定理。围棋定式虽然在某个时期大家公认为局部双方合理变化，但随着时间的推移和理论的改变，认识会有所改变，某些定式也会被淘汰，故不是定理    数学公理：“过两点有且只有一条直线,”，但在棋盘上，不在同一线上的两点只能弯曲连接，棋盘上最多只有十九个点之间有且只有一条直线，两点之间不一定有一直线。数学公理“两点之间线段最短”，这公理表现在围棋上，就是出逃或出头时最好要一间跳或二间跳。围棋棋诀：“象眼尖穿忌两行”，暗含数学公理之要义，这公理就是: “如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行”,“两行”就成了两条平行直线，子效对消，当“忌”也。    围棋棋诀：“棋成愚形效率低”，“愚形”就是三角形或其组合，用数学来说，就是三角形和正方形哪个更有效率更能围面积的问题，不难证明，三角形的边长和面积之比大于正方形边长和面积之比。

      第一手棋价值最大，然后逐一递减，到单官时就是零，如果双方下出最好的应对，它们之间的数值应当是一个数列，因黑有先手之利，黑棋数列比白棋数列相对应的数值总有一个差额，这所有的差额相加，目前认为大约相当于7.5目。

      每一手棋都有一定价值，它就是“代数”，代表一定的目数。用数学表示就是X=N目，N一般为正数，有时一手棋太坏，适得其反，也会是负数。棋手每下一手棋，都要解一道或几十道“代数式”，都会用到围棋的公理和定理，但围棋的变化实在非人力所能计算，在有限时间里更不能一步步推导而出，更多时是用定式来代替定理，有时凭感觉，计算结果自然也会有偏差。

      围棋不下在要点，而下在这点的上下左右，结果会完全不同，甚至生死之别，用“差之毫厘，谬以千里”都不足以形容，用数学来说就是一个极小的数乘以无穷大等于无穷大。   记录棋谱和对局研究，都用到数学里的坐标，如果没有数学提供的坐标，我们论棋时只能说“这里”“那里”，多几个点就无法表述。

     中学时学过数学家华罗庚介绍统筹学的文章，说的是在一定时间里做最多的事，比如煮饭和洗碗、洗菜，最好的方法是先煮饭，在煮饭的同时洗碗洗菜。围棋盘上当然想几个好点同为我方占领，但棋是轮流下的，这就需要抢先手，假如有20目官子、15目官子和10目官子各一，前两官子为后手，后一官子为先手，统筹安排就是先收10目的，轮对方收20目的，我方再抢到最后一个15目，总计是25目，比对方20目多，“一先不失”就是围棋里的统筹学。

      以前学复数、微积分，学虚数，很不以为然，认为离生活太远，学习兴趣不大。下围棋以后知道，围棋中的实地就是实数，厚势便是虚数，厚势能发挥多大作用，能转化成多少实地，还不能确定。

    计算实地的目数，可用精确数学搞定，而厚势、整体形势则有不确定性，有各种复杂因素，很难判断，棋手凭的是自个的天份和经验。在精确数学以外，模糊数学也试图对复杂事物进行识别，研究和处理模糊性、不确定性。

      棋手脑中要有虚拟图像、各种可能的形状，还要无数次去验证此图大于彼图，此形优于彼形，就象几何中求证此三角形大于彼三角形，或此角大于彼角、此线段大于彼线段。判断实数的大小比较容易，但要判断有实数和虚数的形状就太难了，要判断几手棋或几十手棋后既有实数也有虚数的形状价值大小更是难上加难。

     中国官方的统计，向来是统计加估计，数字出官，官出数字，统计数与实际数相差太远，水份多对某个官反而有利。广西某县，为显示招商引资或搞活经济的政绩，统计表上说某乡某镇有多少企业，其实加上卖罗卜串的和开小店的总共都不到所列数字的一半，这些政绩还编入县志，还强行要吃公家饭的高价购买志书！对棋手而言，也是统计加估计，实空部分是统计得出有多少目，而厚势部分，只能用估计，估计得越准确，形势判断就越准确，就能制定正确的策略和行棋方向，就能更易取胜，水份多对棋手是不利的，没有棋手故意做错误的形势判断。

     拓扑学是数学中一基础的分支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，棋手也常常在棋盘上构思很多变化图，这些棋形或变化图也是连续变化的，棋手寻求的是在连续变化中对已方有利的可能性。

     计算机围棋软件必须能够辨别微妙而又复杂的棋形，而计算机的程序算法却很难表达棋形，因为棋形往往是凭直观获得的知识，而凭直观获得知识是人类智慧的特征。围棋具有复杂系统的许多非线性特征，围棋多靠经验传承和辨证思考等非科学的方式进行学习，很难用非常具体的数学模型进行描述。

      国际象棋的电脑程序，数学建模非常简单，主要是对不同角色赋予不同的分值，然后对盘面上的每一颗棋可能的走法进行树形展开进行计算，按分值最大的走法进行排优，来决定行棋步骤。围棋的规则虽然简单，但围棋行棋的数学模型却非常复杂。围棋电脑冠军设计者陈志行认为，必须让电脑程序实现17项需求模型，才能达到基本棋力，而进一步提高，则非常困难。而单凭电脑下国际象棋的“树形展开、优选搜索”的计算原理是远远不够的。

      系统论有一个基本规律，即整体大于部分之和，由多个部分构成的一个系统可以在整体上出现一些其单个部分所没有的特征。同样，围棋的复杂性并不存在于棋子中，而是存在于棋子构成的整体中，无论是好形还是愚形，死棋还是活棋，那都是整体的性质，是整体的特征使围棋变得复杂无比。

      数学是基础学科，我们要学，围棋是中国四艺之一，也要学习传承，其实我们可以在围棋中学数学，在数学中学棋，鱼和熊掌兼得，何乐而不为呢？